اگر n نفر در یک صف (خط راست) بایستند،
تعداد حالتها = !n (n فاکتوریل).
ترتیب از چپ به راست مهم است و همه حالتها متمایزند.
💡 ۵ نفر در صف = ۵! = ۵×۴×۳×۲×۱ = ۱۲۰ حالت
🔸 ۲. دور میز (دایره) = (n-1)!
اگر n نفر دور یک میز گرد بنشینند،
تعداد حالتها = (n-1)!
چون چرخشهای مختلف یک نشستن یکسان محسوب میشوند.
💡 ۵ نفر دور میز = (۵-۱)! = ۴! = ۲۴ حالت
🔹 ۳. افراد کنار هم = «بسته» کن
اگر دو یا چند نفر باید کنار هم باشند،
آنها را یک بسته (واحد) در نظر بگیر.
سپس جایگشت بستهها و افراد دیگر را حساب کن،
و در آخر جایگشت افراد درون بسته را هم ضرب کن.
💡 علی و حسن باید کنار هم باشند ← یک بسته «علی-حسن» + بقیه
🔸 ۴. افراد جدا از هم = کل منهای کنار هم
اگر دو نفر نباید کنار هم باشند،
سادهترین راه: کل حالتها − حالتهایی که کنار هم هستند.
این روش سریعتر از شمردن مستقیم حالتهای جدا از هم است.
💡 ۴ نفر در صف، علی و حسن جدا = ۴! − (۳!×۲!) = ۲۴−۱۲ = ۱۲
🔹 ۵. صندلیهای ثابت = صف، صندلیهای گردان = دایره
اگر صندلیها شمارهدار یا ثابت باشند (مثل صندلی سینما)،
حکم صف را دارد و جایگشت عادی است (!n).
اگر صندلیها دور میز گرد و بیشماره باشند، حکم دایره را دارد ((n-1)!).
